Cum văd eu lumea

pag. 34-35

GEOMETRIE ȘI EXPERIENȚÃ

Matematica se bucură, față de toate celelalte științe, de un prestigiu aparte dintr-un motiv anume: propozițiile ei sunt absolut sigure și neîndoielnice în vreme ce propozițiile tuturor celorlalte științe sunt într-o anumită măsură discutabile și în permanent pericol de a fi răsturnate de fapte nou descoperite. Cu toate acestea, cercetătorul dintr-un alt domeniu nu ar trebui să-l invidieze pe matematician dacă propozițiile lui s-ar raporta nu la obiecte ale realității, ci la cele ale simplei noastre închipuiri. Căci nu trebuie să surprindă că se ajunge la consecințe logice general acceptate dacă s-a realizat un acord asupra propozițiilor fundamentale (axiome), ca și asupra metodelor prin mijlocirea cărora au fost derivate alte propoziții din aceste propoziții fundamentale. Dar acest mare prestigiu al matematicii decurge, pe de altă parte, din faptul că matematica este aceea care conferă științelor exacte ale naturii un anumit grad de siguranță, pe care, fără matematică, nu l-ar fi putut atinge.
în acest punct survine o enigmă care i-a neliniștit în mod deosebit pe cercetătorii din toate timpurile. Cum este oare cu putință ca matematica, un produs al gândirii omenești independent de orice experiență, să se potrivească totuși atât de bine obiectelor realității? Poate, așadar, rațiunea umană să cerceteze însușiri ale lucrurilor reale prin simplă gândire, fără ajutorul experienței?
La acestea se poate răspunde, după părerea mea, scurt: în măsura în care propozițiile matematicii se raportează la realitate, ele nu sunt sigure, iar în măsura în care sunt sigure, ele nu se raportează la realitate. Cred că o deplină claritate în ceea ce privește această situație a devenit un bun comun abia prin acea direcție din matematică cunoscută sub numele de ”axiomatică”. Progresul realizat prin axiomatică constă în aceea că prin ea logic-formalul a fost despărțit net de conținutul material sau intuitiv; potrivit axiomaticii, numai logic-formalul reprezintă obiectul matematicii, și nu conținutul intuitiv sau un alt conținut corelat cu logic-formalul.
Să considerăm, din acest punct de vedere, o axiomă oarecare a geometriei, bunăoară următoarea: prin două puncte din spațiu trece întotdeauna o dreaptă și numai o singură dreaptă. Cum poate fi interpretată această axiomă în sensul mai vechi și mai nou?
Interpretarea mai veche: Fiecare știe ce este o dreaptă și ce este un punct. Dacă această cunoaștere provine din interacțiunea elementului logic-formal și intuitiv sau din altă sursă, acest lucru nu trebuie să-l decidă matematicianul; el lasă această decizie în seama filozofului. Sprijinită pe această cunoaștere, dată înaintea oricărei matematici, axioma numită, ca și toate celelalte axiome, este evidentă, adică este expresia unei părți a acestei cunoașteri a priori.
Interpretarea mai nouă: Geometria operează cu obiecte desemnate prin cuvintele dreaptă, punct și așa mai departe. Nu se presupune nici o cunoaștere sau intuiție despre aceste obiecte, ci doar validitatea unei axiome înțelese de asemenea pur formal, adică detașată de orice conținut intuitiv și de trăire. Față de un asemenea conținut, axioma amintită este un exemplu. Aceste axiome sunt creații libere ale spiritului uman. Toate celelalte propoziții geometrice sunt consecințe logice derivate din axiome (concepute pur nominalist). Abia axiomele definesc obiectele cu care se ocupă geometria. De aceea Schlick, în cartea sa de teoria cunoașterii, a caracterizat axiomele - foarte potrivit - ca ”definiții implicite”1.
Această concepție asupra axiomei, susținută de axiomatica modernă, curăță matematica de toate elementele ce nu țin de ea și înlătură astfel întunecimea mistică ce învăluia înainte vreme fundamentul matematicii. O asemenea reprezentare purificată face de asemenea evident faptul că matematica - ca atare - nu poate să enunțe ceva nici despre...